- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=
的图象上任意两点，且
，已知点M的横坐标为
.
求证：M点的纵坐标为定值；
若Sn=f(
∈N*，且n≥2,求Sn;
已知an=
，其中n∈N*.
Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ(Sn+1+1)对一切n∈N*都成立，试求λ的取值范围.- 答案：（1）见解析；（2）Sn=
；（3）（
+∞）. - 试题分析：（1）依题意M是AB的中点，得x1+x2=1，而y=(y1+y2)= ［f(x1)+f(x2)］利用解析式可得y=,即纵坐标为定值；（2）由（1）知x1+x2=1,则f(x1)+f(x2)=1,而Sn=f(
观察特点，利用倒序相加求和可得Sn=；（3）由（2）可得
，利用裂项相消求和可得
，代入Tn＜λ(Sn+1+1)转化为恒成立问题解决,从而得λ＞.
试题解析：（1）证明：∵
∴M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,
由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.
而y=(y1+y2)= ［f(x1)+f(x2)］ =(+log2
=(1+log2
=(1+log2
=(1+log2
∴M点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1,
Sn=f(
Sn=f(
,
两式相加得：2Sn=［f(
)+［f(
)+…+［f(
)
=
∴Sn=(n≥2,n∈N*).
(3)当n≥2时,an=
Tn=a1+a2+a3+…+an=
［(
) =(
由Tn＜λ(Sn+1+1)得
＜λ·
∴λ＞
∵n+
≥4,当且仅当n=2时等号成立,∴
因此λ＞，即λ的取值范围是（+∞）.
考点：函数和数列的综合问题