- 试题详情及答案解析
- （本题14分）对于函数
，若
，则称
为的“不动点”，若
，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即
．
（1）设
，求集合A和B；
（2）若
，
，求实数
的取值范围；
（3）若
，求证：
．- 答案：（1）
，
；（2）
； - 试题分析：（1）紧扣题中给出的“不动点”和“稳定点”的定义，准确列出关于的方程，求得集合A和B；（2）利用“不动点”和“稳定点”的定义，分别讨论参数
和
两种情况且注意分母不能为0，求出集
和
，再由，确定的取值范围；（3）利用“不动点”和“稳定点”的定义，分别讨论参数和两种情况，求出集和，证得结论．本题属于创新型问题，在求解时关键在于准确把握新定义，正确应用新定义和相关知识求解所给的问题，要在理解新定义上下功夫，在应用新定义解决所给问题上做文章．具体到本题中，函数的“不动点”本质就是方程
的解，函数的“稳定点”本质就是方程
的解，只要能牢牢把握这一本质，就能解好本题目．
试题解析：（1）由，得
，解得
； 1分
由
，得
，解得. 2分
所以集合，. 4分
（2）①若，则
，符合题意； 5分
②若，由题意有：
，
注意：
，验证得：
不是方程
的根；
∴
； 6分
，
注意：
且
，
验证得：和
都不是方程的根，
∴
； 8分
∴；∵
，∴
，∴方程有解，
∴
且； 9分
综上，实数的取值范围是． 10分
（3）①若，
，结论成立； 11分
②若，由得
，则
12分
∵
考虑方程：
，∵
，∴方程无解．
∴
； 13分
∴． 14分
考点：①含参数的一元二次方程解法；②集合与集合的关系．