- 试题详情及答案解析
- （本题17分）已知定义在
上的函数
是偶函数，且
时，
，(1)当
时，求
解析式；(2)写出的单调递增区间．- 答案：（1）当时，
；(2)的单调递增区间是
和
． - 试题分析：（1）任取
，则
，由时，，得出
；利用
是偶函数，知
，进而求得
；
（2）．因为是偶函数，所以只需求出函数在
上的单调性，然后根据函数奇偶性与单调性的关系，求出函数在
上的单调性，进而求得函数在
上的单调性；在判断函数在上的单调性时，可以用复合函数的单调性，也可以用单调性的定义，也可以用导数；本题是用复合函数的单调性解答的．
试题解析：（1）任取，则
， 2分
∵当时，，∴， 4分
∵函数是定义在
上的偶函数，∴，
∴
，∴当时，； 7分
（2）当
时，，此时，令
，
， 9分
则在上是增函数；在
上是减函数，在上是增函数，且的值域为
； 11分
由复合函数单调性知，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
∴当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是； 13分
又∵函数是定义在上的偶函数，
∴当
时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是
； 15分
综上可知，函数的单调递增区间是和． 17分
考点：①函数的奇偶性；②函数及复合函数的单调性；③利用函数的奇偶性求解析式；④函数奇偶性与单调性的关系．