- 试题详情及答案解析
- （12分）（原创）已知函数
相邻两对称轴间的距离为
，若将
的图像先向左平移
个单位，再向下平移1个单位，所得的函数
为奇函数。
（1）求的解析式，并求的对称中心；
（2）若关于
的方程
在区间
上有两个不相等的实根，求实数
的取值范围。- 答案：（1）
，对称中心为：
，（2）
或
.- 试题分析：函数
相邻两对称轴间的距离为，说明函数的周期为
，利用周期公式
，将的图像先向左平移个单位，即
，再向下平移1个单位，
，函数为奇函数，只需
，解出
，得，进而求出对称中心坐标即可；（2）由于
，在
函数值从0增到1，在
函数值从1减到0，对于任意给定的
任意值，有两个值与之对应，令
，方程化为：
，有两个不等式跟只需方程在上仅有一个实根，借助一元二次方程的根的分布解决即可.
试题解析：（1）由条件得：
，即
, 则
，
又
为奇函数，令
，
，
，
， 
由
，得对称中心为：
（2）
,又有（1）知：，则
，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令
则
由原命题得：
在上仅有一个实根。
令
，
则需
或
，
解得：或.
考点：1.三角函数图像与性质；2.
的图像变换；3.一元二次方程的根的分布；