- 试题详情及答案解析
- 设数列
满足：①
；②所有项
；③
．设集合
，将集合
中的元素的最大值记为
．换句话说，
是数列中满足不等式
的所有项的项数的最大值．我们称数列
为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．
（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；
（2）设
，求数列的伴随数列的前
之和；
（3）若数列的前
项和
（其中
常数），求数列的伴随数列
的前
项和
．- 答案：（1）1,1,1,2,2,2,3；（2）50；（3）
- 试题分析：（1）本题解题的关键是抓住新定义中“是数列中，满足不等式的所有项的项数的最大值”，正确理解题中新定义的内容，根据伴随数列的定义直接写出数列1,4,7的伴随数列；（2）对于这类问题，我们要首先应弄清楚问题的本质，然后根据等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时的常用方法即可解决，根据伴随数列的定义得
，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列
的前20项的和；（3）数列是特殊的函数，以数列为背景是数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，由题意和
与
的关系，代入
得
，求出伴随数列
的各项，再对分类讨论得
.
试题解析： 解：（1）由伴随数列的定义得，
数列1,4,7的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3（后面加3算对） 5分
（2）由
，得
∴ 当
时，
2分
当
时，
2分
当
时，
2分
∴
1分
（3）∵
∴
1分
当
时，
∴ 
1分
由
得：
因为使得
成立的的最大值为
，
所以 
1分
当
时：
2分
当
时：
2分
所以 1分
考点：1、新定义求数列；2、数列求和；3、数列的应用.