- 试题详情及答案解析
- （12分）（原创）已知函数
满足以下条件：①定义在正实数集上；②
；③对任意实数
，都有
。
（1）求
,
的值；
（2）求证：对于任意
，都有
;
（3）若不等式
,对
恒成立，求实数
的取值范围。- 答案：
- 试题分析：先利用赋值法求出
，（2）根据抽象函数表达式可以看出只是一个对数函数模型，借助
可以求出函数原型：
，但证明时需利用，所以取两个指数型的正数，
去考察
和
即可；（3）首先利用赋值法证明函数在
上是减函数，再考虑式子在
上有意义，求出的要求，即定义域优先考虑，然后要求
，最后借助函数是减函数，解不等式
，即
，最终求出的范围，本题难度较大，需认真解每一步.
试题解析：（1）令
，得：
,
,
,
（2）证明：设
，
均为正数 ,则存在
使得，
（3）先证
在正实数集上单调递减：
设
，且
,令：
，（
），
，
， 则由（2）知
-
=
=
，则函数在
上是减函数.
再求取值范围：
因为
且
，又
，
在区间上有定义
定义在正实数集上 
可得：
，对恒成立，
……（1）
,对恒成立，
恒成立……（2）
由（2）中令
,得：
，则原不等式可整理为：
直线
在
左侧，令
在上为减函数，需要
最大值为
，即
，
（3）,有上面（1）（2）（3）得：的取值范围是
考点：1.赋值法；2.抽象函数的单调性的证明；3.利用抽象函数的增减性解不等式；