- 试题详情及答案解析
- 请仔细阅读以下材料：
已知
是定义在
上的单调递增函数．
求证：命题“设
，若
，则
”是真命题．
证明：因为，由得
．
又因为是定义在上的单调递增函数，
于是有
． ①
同理有
． ②
由①+ ②得．
故，命题“设，若，则”是真命题．
请针对以上阅读材料中的，解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设，若
，则：”是真命题；
（2）解关于
的不等式
（其中
）．- 答案：（1）证明见解析；（2）①当
时，即
时，不等式的解集为：
②当
时，即
时，不等式的解集为：
- 试题分析：（1）在判断四种命题的关系时，首先要分清命题的条件和结论，当确定了原命题时，要能根据四种命题的关系写出其他三种命题；（2）当一个命题有大前提时，若要写出其他三种命题，大前提需保持不变；（3）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出反例；（4）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.
试题解析： 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
原命题的逆否命题：设
，若
，则：
4分
下面证明原命题的逆否命题为真命题：
因为，由得：
， 1分
又是定义在上的单调递增函数
所以
（1） 1分
同理有：
（2） 1分
由（1）+（2）得： 1分
所以原命题的逆否命题为真命题
所以原命题为真命题. 1分
（2）由（1）的结论有：
，即：
3分
①当时，即时，不等式的解集为： 3分
②当时，即时，不等式的解集为： 3分
考点：1、命题及其相互关系；2、指数函数和对数函数的性质.