- 试题详情及答案解析
- 已知
分别是椭圆
的左、右焦点，椭圆
过点
且与抛物线
有一个公共的焦点．
（1）求椭圆方程；
（2）直线
过椭圆的右焦点
且斜率为
与椭圆交于
两点，求弦
的长；
（3）以第（2）题中的为边作一个等边三角形
，求点
的坐标．- 答案：（1）
；（2）
；（3）
或
. - 试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出
的值，若不明确，需分焦点在
轴和
轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论；（3）涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；直线与圆锥曲线相交所得中的弦问题，就解析几何的内容之一，一般有以下三种类型：①求中点弦所在的直线方程；②求弦中点的轨迹方程问题；③弦长为定值时，弦中点的坐标问题，其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法.
试题解析：（1）由题意得 
2分
又
，
得，
，解得
或
（舍去）， 2分
则
， 1分
故椭圆方程为
． 1分
（2）直线的方程为
． 1分
联立方程组
消去
并整理得
． 3分
设
，
．
故
，
． 1分
则
2分
（3）设的中点为
．
可得
， 1分
． 1分
线段的中垂线
斜率为
， 所以
设
1分
所以
． 1分
当△为正三角形时，
，
可得
， 解得
或
． 2分
即
，或
． 1分
考点：1、求椭圆的标准方程；2、直线与圆相交求弦长；3、直线与椭圆的综合问题.