- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
．
（1）求函数
的最大值；
（2）若函数与
有相同极值点，
（ⅰ）求实数
的值；
（ⅱ）若对于
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．- 答案：（1）的最大值为
；（2）（i）
；（ii）
． - 试题分析：（1）考虑通过求导判断函数
的单调性来求其最大值：
，从而可知在
上为增函数，在
上为减函数，因此的最大值为；（2）（i）根据条件函数与有相同极值点，即
与
有相同的零点，从而由（1）
，即有；（ii）首先根据前述问题可知
，
，，
，而要使不等式恒成立，故需对的取值进行分类讨论，从而可得①当
，即
时，对于，不等式恒成立
，∵
，
∴
，又∵
，∴，
②当
，即
时，对于
，不等式，
，
∵
，∴
，又∵，∴，
即实数
的取值范围为．
试题解析：（1）
， 1分 由
得
，
由
得
，∴在上为增函数，在上为减函数， 3分
∴函数的最大值为； 4分（2）∵
，∴
，
（i）由（1）知，
是函数的极值点，又∵函数与有相同极值点，
∴ 
是函数
的极值点，∴，解得， 7分
经检验，当
时，函数取到极小值，符合题意； 8分
（ⅱ）∵
，
，
， ∵
， 即
，
∴，
， 9分
由（ⅰ）知
，∴
，当
时，
，当
时，
，
故在
为减函数，在
上为增函数，∵
，
而
，∴
，∴，， 10分
①当，即时，对于，不等式恒成立
，
∵，∴，又∵，∴， 12分
②当，即时，对于，不等式，
，
∵
，
∴，又∵，∴，
综上，所求的实数的取值范围为． 14分
考点：1．导数的运用；2．恒成立问题．