- 试题详情及答案解析
- （本小题满分15分）如图，已知抛物线
：
，过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点，且与其准线交于点
．
（Ⅰ）若线段
的长为
，求直线的方程；
（Ⅱ）在上是否存在点
，使得对任意直线，直线
，
，
的斜率始终成等差数列，若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由.- 答案：（1）
；（2）存在点
或
．- 试题分析：（1）设出直线的方程，与抛物线方程进行联立，利用弦长公式进行求解；（2）假设存在
，利用等差中项和恒成立判定是否有解.
试题解析：（Ⅰ）焦点
∵直线
的斜率不为
，所以设
，
，
由
得
，
，
，
，
，
∴
， ∴
． ∴直线的斜率
，
∵
，∴
，
∴直线的方程为．
（Ⅱ）设，
，
同理
，
，
∵直线
，
，
的斜率始终成等差数列，
∴
恒成立，
即
恒成立． ∴
，
把，代入上式，得
恒成立，
．
∴存在点或，使得对任意直线，
直线，，的斜率始终成等差数列．
考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.等差中项.