- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点
作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，
．
（1）求椭圆的方程；
（2）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
.- 试题分析：（1）利用已知离心率和直线AB斜率为0时，
，可求得a，b，c的值，从而得到椭圆标准方程；（2）因为AB⊥CD，故
，将AB和CD所在直线方程分别与椭圆方程联立，用斜率表示出|AB|和|CD|，然后利用函数思想，结合均值不等式可求得S的范围.
试题解析：（1）由题意知，
，则
，
且AB斜率为0时，
，
所以
．所以椭圆的方程为． 4分
（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知
； 5分
②当两弦斜率均存在且不为0时，设
，
，
且设直线
的方程为
，
则直线
的方程为
．
将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得
，
所以
． 8分
同理，
． 9分
所以
，
当且仅当
时取等号 11分
∴
综合①与②可知， 13分
考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，弦长公式，基本不等式.