- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知
，设函数
．
（1）若
在（0， 2）上无极值，求t的值；
（2）若存在
，使得
是在[0， 2]上的最大值，求t的取值范围；
（3）若
为自然对数的底数）对任意
恒成立时m的最大值为1，求t的取
值范围．- 答案：（1）t＝1；（2）
；（3）
. - 试题分析：（1）因为f '（x）＝（x－1）（x－t），要使得在（0， 2）上无极值，只有t＝1时，有f '（x）≥0恒成立；（2）由（1）知t＝1时，不满足条件，t≠1时，因为x＝1必定是极值点，对t的范围分类探究，找出使得f（1）或f（t）（t∈（0，2）时）为最大值的t的范围；（3）分离参数m，找出使得不等式恒成立的m的范围（与t相关），注意m的最大值为1，由此求出t的取值范围.
试题解析：（1）∵
，又
在（0， 2）无极值
3分
（2）①当
时，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，
由得：
在
时无解
②当
时，不合题意；
③当
时，在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，
即
④当
时，在单调递增，在单调递减，满足条件
综上所述：
时，存在
，使得
是在[0，2]上的最大值. 8分
（3）若
对任意
恒成立
即
对任意
恒成立
令
，由于
的最大值为1，
则
恒成立，否则存在
使得
则当
，
时，
不恒成立.
由于
，则
10分
当
时，
，则
，若
则
在
上递减，在
上递增，
则
在
上是递增的函数
，满足条件
的取值范围是 14分
考点：利用导数研究函数性质，最值，范围，不等式恒成立问题，范围.