- 试题详情及答案解析
- 已知椭圆C :
上点到两焦点的距离和为
，短轴长为
，直线l与椭圆C交于M、 N两点.
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O :
相切，证明：
为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求
的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
;(3)
． - 试题分析：(1)利用椭圆的定义进行求解；（2）利用圆心到直线的距离，求出直线的斜率与截距的关系，再利用平面向量的数量积求证角为定值；（3）利用三角换元进行求解.
试题解析：（Ⅰ）由椭圆C:
上点到两焦点的距离和为
，
得2a=，即
；由短轴长为
，得2b=，即
所以椭圆C方程：
（Ⅱ）当直线MN
轴时，因为直线MN与圆O:
相切，所以直线MN方程：x=
或x=-
，当直线方程为x=，得两点分别为（，）和（，-），故
=0，可证
=
；同理可证当x=-，=；
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O:的交点M
，N
由直线MN与圆O相切得：d=
，即25
①;
联立y=kx+b，，得
，
因此
，
=-
，
=
；
由
=+
=+
=（1+k
）+kb（）+b=
②；
由①②得
=0，即=；
综上=
（定值）.
（Ⅲ）不妨设
，则
，
由三角函数定义可知:M（
cos
，sin），N（
sin，cos）
因为点M、N都在上，
所以
=
， 
=
=
=（）（）
=9
16+（9-16）2
=916+（9-16）
，
又
[0，1]，故（
）[916，（
）]
因此 [
].
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.