- 试题详情及答案解析
- （本题12分）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，
（1）若n=1，则
= ，
= ；
（2）若n=2，求证：8AP=3PE
（3）当n=_____时，AE⊥DF（直接填出结果）- 答案：（1）
； （2）证明见试题解析；（3）
． - 试题分析：（1）可通过构建相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例来求解．
（2）同（1）解法．
（3）根据已知及相似三角形的性质进行求解．
试题解析：（1）延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，
∴
，
设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，
同理：△AFP∽△DPH，
∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，
设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=
，∴PE=
，
∴AP：PE=3：5，
∴
，
；
（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，
∵四边形ABCD为正方形，∴AB∥DH，∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，∴△BEA∽△CEH，
∴，
设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，
同理：△AFP∽△HDP，
，
设AP=2k，PH=9k，∴AH=11k，∴EH=
，∴PE=
，∴
，∴8AP=3PE；
（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，
∵△AFP∽△AFD，∴FP：AP=AF：AD=2：3，∴AF=
AD=AB，BF=
AB，
∴BF=AF，∴
．
考点：1．正方形的性质；2．相似三角形的判定与性质．