- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）如图，在平面直角系中，点A、B分别在x轴、y轴上，A（8，0），B（0，6），点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点A出发，沿AO以每秒1个单位的速度向点O运动，当点Q到达点O时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示C点坐标；
（2）如图1，连接PQ，过点Q作QC⊥AO交AB于点C，在整个运动过程中，当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
（3）如图2，以QC为直径作⊙D，⊙D与AB的另一个公共点为E．问是否存在某一时刻t，使得以BC、CE、AE的长为边的三角形为直角三角形？若存在，直接写出一个符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）C（
，
）；（2）
或
或
或
；（3）
或
． - 试题分析：（1）根据勾股定理可求出AB=10，易证△AQC∽△AOB，由此可用t的代数式表示出QC、OQ的长，从而解决问题．
（2）可分四种情况（图a、图b、图c、图d），只需用t的代数式表示出相关线段的长，然后建立方程，就可求出对应t的值．
（3）先用t的代数式表示出BC、CE、AE的长，可证AE＞CE，只需分两种情况（BC为斜边、AE为斜边）进行讨论，运用勾股定理建立方程，就可求出符合题意的t的值．
试题解析：（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6．
∵∠AOB=90°，∴AB=10．
∵QC⊥AO，∴∠CQA=90°=∠BOA，∴QC∥OB，∴△AQC∽△AOB．
∴
．
∵OA=8，OB=6，AB=10，AQ=t，∴
，∴QC=，AC=
．
∵OQ=OA﹣AQ=，∴点C的坐标为（，）．
（2）①如图a，CP=CQ．
∵CP=AB﹣BP﹣AC=
，CQ=，∴
，解得：
．
②如图b，PC=PQ．
∵∠CQA=90°，∴∠PCQ+∠QAC=90°，∠PQC+∠AQP=90°．
∵PC=PQ，∴∠PCQ=∠PQC，∴∠AQP=∠QAC，∴PQ=PA，∴PC=PA，∴AC=2AP．
∵AC=，AP=
，∴
．解得：
．
③如图c，CQ=CP．
∵CQ=，CP=
，∴
，解得：
．
④如图d，QC=QP．
过点Q作QN⊥AC于点N，
则有PN=CN=
PC=
．
∵QC∥OB，∴∠QCN=∠OBA．
∵∠CNQ=∠BOA=90°，∴△CNQ∽△BOA，∴
，∴CN•AB=OB•CQ，∴
，
解得：
．
综上所述：当t取或或或时，△CPQ是等腰三角形．
（3）如图e，连接QE．
∵CQ是⊙D的直径，∴∠CEQ=90°．∴∠QEA=90°=∠BOA．
∵∠EAQ=∠OAB，∴△QEA∽△BOA，∴
．∴AE=
．
∴CE=AC﹣AE=
，BC=
．
∵
，∴AE＞CE．∴CE不可能是斜边．
①BC为斜边，
则有
．∴
，整理得：
，
解得：
，
，∵
，∴
．
②AE为斜边，
则有
．∴
．整理得：
．
解得：
，
，∵，∴
．
综上所述：符合题意的t的值为或．
考点：1．圆的综合题；2．解一元二次方程-公式法；3．等腰三角形的判定与性质；4．相似三角形的判定与性质．