- 试题详情及答案解析
- （本题12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．- 答案：（1）
；（2）当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是
． - 试题分析：根据勾股定理求得AB=5cm．
（1）分类讨论：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC两种情况．利用相似三角形的对应边成比例来求t的值；
（2）如图，过点P作PH⊥BC于点H，构造平行线PH∥AC，由平行线分线段成比例求得以t表示的PH的值；然后根据“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S与t的关系式S=
（0＜t＜2.5），则由二次函数最值的求法即可得到S的最小值．
试题解析：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得
=5cm．
（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时，
AP：AC=AM：AB，即
，解得；
②当△APM∽△ABC时，AP：AB=AM：AC
=
，即
，
解得
（不合题意，舍去）；
综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC，∴PH：AC=BP：BA，即PH：4=2t：5，∴PH=
，
∴S=S△ABC﹣S△BPN=
=（0＜t＜2.5）．
∵
，∴S有最小值．当时，S最小值=．
答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是．
考点：相似形综合题．