- 试题详情及答案解析
- 已知
．
（1）求函数
的单调区间；
（2）若关于
的方程
有实数解,求实数
的取值范围；
（3）当
时,求证：
- 答案：（1）函数
在区间（0,1）上为增函数；在区间
为减函数；（2）
；（3）详见解析．- 试题分析：（1）对函数
求导，由导数在各区间上的符号可确定函数的单调区间。
（2）由（1）可知，函数有最大值，而
有最小值，关于
的方程
有实数解等价于
，由此可求
的取值范围。
（3）由（1）可知，
，所以
即
，由此可得
，进一步转化可证。
试题解析：（1）
∴当
时,
；当
时, 
；
∴函数在区间（0,1）上为增函数；在区间
为减函数 4分
（2）由（1）得的极大值为
,令,
所以当
时,函数
取得最小值
,
又因为方程有实数解,那么
,即
,
所以实数的取值范围是：． 8分
（3）∵函数在区间为减函数,而
,
∴
,即
即
,而
,
∴
结论成立． 12分．
考点：函数与导数、函数的单调性、利用函数证明不等式。