- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知抛物线
，直线
与抛物线交于
两点．
（Ⅰ）若
轴与以
为直径的圆相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线
与
轴负半轴相交，求
面积的最大值．- 答案：（Ⅰ）
; （Ⅱ）
.- 试题分析：（Ⅰ）联立
，消
并化简整理得
,利用圆与轴相切的位置关系得弦
从而确定
的值，进而求得该圆的方程；
（Ⅱ）首先根据直线与抛物线的位置关系将弦
的长度和原点到直线的距离均表示为 的函数，并确定的取值范围，从而把的面积也表示为的函数，最后利用函数的最值求出的最大值.
试题解析：（Ⅰ）联立
，消并化简整理得．
依题意应有
，解得
．
设
，则
，
设圆心
，则应有
．
因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为
，
又
．
所以
，
解得
．
所以
，所以圆心为
．
故所求圆的方程为
．
（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以
，
又与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知，所以
，
直线：整理得
，点
到直线的距离
，
所以
． 令
，，
，
由上表可得
＋ 0 － 
极大 
的最大值为
．所以当
时，
的面积取得最大值
．
考点：1、直线与抛物线的位置关系；导数在研究函数性质中的应用.