- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）对于定义域为D的函数
，若同时满足下列条件：①
在D内单调递增或单调递减；②存在区间[
]
，使在[]上的值域为[]；那么把（
）叫闭函数。
（1）求闭函数
符合条件②的区间[]；
（2）判断函数
是否为闭函数？并说明理由；
（3）判断函数
是否为闭函数？若是闭函数，求实数
的取值范围。- 答案：（1）[-1，1] （2）不是闭函数（3）
- 试题分析：（Ⅰ）因为
在R上单调递减，根据定义可知
解方程就可以了.
（Ⅱ）f（x）不是定义域内的单调函数，不满足闭函数的定义.
（Ⅲ）是单调递增函数，我们可以假设存在区间[a,b],使得
解方程
在定义域内有两不同的根.
试题解析：（1）由题意，在[]上递减，则
解得
所以，所求的区间为[-1，1]
（2）取
则
，即不是
上的减函数。
取
，
即不是上的增函数
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。
（3）若是闭函数，则存在区间[]，在区间[]上，函数的值域为[]，即
，
为方程
的两个实根，
即方程
有两个不等的实根。
当
时，有
，解得
。当
时，有
，无解。
综上所述，。
考点：新定义的应用，不等式