- 试题详情及答案解析
- 以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数
组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间
.例如，当
.现有如下命题：
①设函数
的定义域为D，则“
”的充要条件是“
”；
②函数
的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，
的定义域相同，且
④若函数
有最大值，则.
其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的序号）- 答案：①③④
- 试题分析：（1）对于命题①“
”即函数
值域为R，“
，
，
”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；
（2）对于命题②若函数
，即存在一个正数
，使得函数的值域包含于区间
．∴
．例如：函数满足
，则有
，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；
（3）对于命题③若函数，
的定义域相同，且，
，
则值域为
，
，并且存在一个正数
，使得
．∴
．则
．∴命题③是真命题．
（4）对于命题④∵函数
（
，
）有最大值，
∴假设
，当
→
时，
→0，
→，∴
→，则→．与题意不符；
假设
，当→
时，→
，→
，∴→，则→．与题意不符．∴
．
即函数=
当
时，
，∴
,即
；
当
时，
；
当
时，
，∴
，即
．
∴
．即．故命题④是真命题．
故答案为①③④．
考点：1新概念;2命题.