- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知二次函数
（
为常数，
）的一个零点是
.函数
，设函数
.
（1）求
的值，当
时，求函数
的单调增区间；
（2）当
时，求函数在区间
上的最小值；
（3）记函数
图象为曲线C，设点
是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作
轴的垂线交曲线C于点N.判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由.- 答案：（1）
,
;
（2）
;
（3）曲线
在点
处的切线不平行于直线
- 试题分析：（1）根据
,可得.所以
.求导,讨论导数的符号,导数大于0得增区间,导数小于0得减区间. （2）讨论
两根的大小,在讨论
的符号得其单调区间,根据单调区间可得其最值.（3）设
，则点的横坐标为
.由斜率公式可得直线斜率
.根据导数的几何意义可知在点处的切线的斜率
.假设曲线在点处的切线平行于直线，则
.即
，所以
，不妨设
，
，则
，令
，判断
等于0是否有解.
试题解析：（1）由
是函数
的零点可求得
.
，
因为，
，所以
，解
，得
，
所以
的单调增区间为 4分
（2）当时，由
，得
，
，
①当
，即
时，
在
上是减函数，
所以在
上的最小值为
.
②当
，即
时，
在
上是减函数，在
上是增函数，
所以的最小值为
.
③当
，即
时，在上是增函数，
所以的最小值为
.
综上，函数在上的最小值
， 8分
（3）设，则点的横坐标为，
直线的斜率
，
曲线在点处的切线斜率
，
假设曲线在点处的切线平行于直线，则，
即，
所以
，不妨设，，则，
令，
，
所以
在上是增函数，又
，所以
，即不成立，
所以曲线在点处的切线不平行于直线. 14分
考点：用导数研究函数的性质.