- 试题详情及答案解析
- （本题满分18分）在平面直角坐标系中，已知动点
，点
点
与点
关于直线
对称，且
.直线
是过点
的任意一条直线．
（1）求动点所在曲线
的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于
两点，且
，求直线的方程；
（3） 设直线与曲线交于
两点，求以
的长为直径且经过坐标原点
的圆的方程．- 答案：（1）
； （2） 
； （3） 
． - 试题分析：（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；
（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；
（3）由于当直线
轴时，
，点
到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.所以满足题意的直线
的斜率存在，设为
，则
，由（2）可得
，由点O在圆上知：
，从而由向量的数量积可求出k的值，进而就可求出半径和圆心坐标，所以就可写出圆的方程.
试题解析：（1）依据题意，可得点
.
．
又
，
.
所求动点的轨迹方程为.
（2） 若直线轴，则可求得
，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于
轴．
设直线的斜率为，则．
由
得
．
设点
，有
且
恒成立（因点在椭圆内部）．
又
，
于是，
，即
，
解得
．
所以，所求直线．
（3） 
当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.
满足题意的直线的斜率存在，设为，则.
设点，由（2）知，进一步可求得
依据题意，有，
，
即
，解得
.
所求圆的半径
，
圆心为
.
所求圆的方程为：.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题.