- 试题详情及答案解析
- （本题满分18分）定义：若各项为正实数的数列
满足
，则称数列为“算术平方根递推数列”.
已知数列
满足
且
点
在二次函数
的图像上.
（1）试判断数列
是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；
（2）记
，求证：数列
是等比数列，并求出通项公式
；
（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项
，把这些项重新组成一个新数列
：
.若数列是首项为
、公比为
的无穷等比数列，且数列各项的和为
，求正整数
的值．- 答案：（1） 是，理由祥见解析；（2） 证明祥见解析，
；（3） k=6,m=3.- 试题分析：（1）利用“平方递推数列”的定义判断即可；
（2）利用（1）的结论，由等比数列的定义即可得证，进而由等比数列的通项公式即可写出通项公式；
（3）由无穷等比数列的各项和公式可得关于m,k的方程，由于m,k都是正整数，所以对m的取值进行分类讨论：当
时代入方程可知矛盾，
，从而得到
或2，然后再分别讨论即可求得m,k的值．
试题解析：（1）答：数列
是算术平方根递推数列.
理由：
在函数
的图像上，
，
.
又
，
∴
．
∴数列是算术平方根递推数列.
证明（2）
，
.
又
,
数列
是首项为
,公比
的等比数列. 
.
（3）由题意可知，无穷等比数列
的首项
,公比
，
．
化简，得
．
若，则
.这是矛盾！.
又时，
, 
. 
. 
考点：1.等比关系的确定;2.无穷等比数列的各项和;3.不定方程．