- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
，
，其中
，
为自然对数的底数．
（Ⅰ）当
时，求函数
的极小值；
（Ⅱ）对
，是否存在
，使得
成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设
，当时，若函数
存在
三个零点，且
，求证： 
．- 答案：（Ⅰ）1－ln2；（Ⅱ）
；（Ⅲ）见解析 - 试题分析：（Ⅰ）直接利用导数可得单调区间和极小值；（Ⅱ）函数存在三个零点，表示极大值g（0）大于零而极小值g（
）小于零，得到m的范围，进而得到g（－1）和g（e）的范围，由此得出a，b，c满足的不等关系；（Ⅲ）由题意，
，而
，
，∴
，解出m的范围即可.
试题解析：（Ⅰ）时，
．
∴
1分
由
，解得
；由
，解得
；
∴在
上单调递减，
上单调递增． 2分
∴
． 2分
（Ⅱ）令
，其中
由题意，
对
恒成立，
∵
∵，∴在二次函数
中，
，
∴
对
恒成立
∴
对恒成立， ∴
在
上单减．
∴
，即
．
故存在使
对
恒成立． 4分
（Ⅲ）
，易知
为函数的一个零点，
∵
，∴
，因此据题意知，函数的最大的零点
，
下面讨论的零点情况，
∵
．
易知函数在
上单调递减，在
上单调递增．
由题知必有两个零点，
∴
，解得
，
∴
，即
． 3分
∴
． 1分
又
．
．
．
，得证． 1分
考点：利用导数研究函数性质，函数的单调性，极值，范围问题，恒成立问题