- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知函数
，函数
是函数
的反函数．
（1）求函数的解析式，并写出定义域
；
（2）设
，若函数
在区间
内的图像是不间断的光滑曲线，求证：函数在区间
内必有唯一的零点（假设为
），且
．- 答案：（1）
； （2）证明祥见解析．- 试题分析：（1）先且部分分式法结合指数函数的值域求函数
的值域，即为其反函数的定义域D；再令
解出x然后交换x,y的位置即得函数
的解析式；
（2）先由（1）的结论可求得
的解析式和定义域，从而可判断函数为奇函数，那么要证函数在区间内必有唯一的零点（假设为），且；就只需证明函数在上是单调函数，且
即可．
试题解析： （1）
，
.又
，
.
.
由
，可解得
. 
，
.
证明 （2）由（1）可知，
.
可求得函数的定义域为
.
对任意
，有
，
所以，函数是奇函数.
当
时，
在
上单调递减，
在上单调递减，
于是，
在上单调递减.
因此，函数在上单调递减.
依据奇函数的性质，可知，
函数在上单调递减，且在上的图像也是不间断的光滑曲线.
又
,
所以，函数在区间上有且仅有唯一零点，且
.
考点：1.反函数；2．函数的零点．