- 试题详情及答案解析
- （本题满分18分）在平面直角坐标系中，已知动点
，点
点
与点
关于直线
对称，且
.直线
是过点
的任意一条直线．
（1）求动点所在曲线
的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于
两点，且
，求直线的方程；
（3）若直线与曲线交于
两点，与线段
交于点
（点不同于点
），直线
与直线
交于点
，求证：
是定值．- 答案：（1）
； （2） 
； （3）定值为1；证明祥见解析．- 试题分析：（1）求出N的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到轨迹方程；
（2）设l：y=k（x-1），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，即可求得斜率，进而得到直线方程；
（3）求出HA，GB的方程，设出Q的坐标，由（2）得，P（0，-k），再由直线GB与直线HA交于点O，解得Q的纵坐标，再由向量的数量积的坐标表示，即可得到定值1．
试题解析：（1）依据题意，可得点
. 
．
又
，
. 
所求动点的轨迹方程为.
（2）若直线
轴，则可求得
，这与已知矛盾，因此满足题意的直线
不平行于
轴．
设直线的斜率为
，则
．
由
得
．
设点
，有
且
恒成立（因点在椭圆内部）．
又
，
于是，
，即
，
解得
．
所以，所求直线．
证明（3）
直线与线段
交于点，且与点
不重合，直线的斜率满足：
．
由（2）可得点
，
可算得
．
又直线
．
设点
，则由
得
（此等式右边为正数）. 
，且
=
． 
，解得
. 
为定值.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题.