- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图，
为正三角形，
平面
，
，
为
的中点，
，
．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值．- 答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
- 试题分析：（Ⅰ）作
的中点
，只需证明
即可；（Ⅱ）可以建立坐标系，利用法向量求解，也可以证明平面与平面所成的锐二面角就是∠EAC，再计算即可.
试题解析：（Ⅰ）证明：作的中点，连结
．
在
中，
，又据题意知，
．
∴
，∴四边形
为平行四边形．
∴，又
平面，
平面．
∴
平面． 4分
（Ⅱ）∵
，∴
平面．
在正中，
，∴
三线两两垂直．
分别以为
轴，建系如图．
则
，
，
．
∴
，
．
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，令
，则
．
∴平面的一个法向量为
．
又平面的一个法向量为
．
∴
．
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 8分
考点：空间线面关系，二面角