- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知函数
为自然对数的底数）
（1）求函数
的最小值；
（2）若≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：
- 答案：（1）
（2）
（3）- 试题分析：（1）求导，讨论函数
的单调性，可求函数的最小值；
（2）问题即为
对任意的
恒成立，即在上，
.，设
，即解讨论函数
的单调性，可得
（3）（2）得
，即
，当且仅当
时，等号成立，令
则，
即
，所以
，累加即可得证
试题解析：（1）由题意
，
由
得
.
当
时， 
;当
时，
.
∴在
单调递减，在
单调递增
即在处取得极小值，且为最小值，
其最小值为
（2）对任意的恒成立，即在上，.
由（1），设，所以
.
由
得.
易知在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
∴在处取得最大值，而
.
因此的解为，∴
（3）由（2）得，即，当且仅当时，等号成立，令
则，即，所以
累加得
考点：利用导数研究函数的性质，利用导数证明有关命题