- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求
在区间
上的最小值；
（Ⅱ）讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当
时，有
恒成立，求
的取值范围．- 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）当
时，在
单调递增；当
时，在
单调递增，在
上单调递减；当
时，在单调递减 ．
（Ⅲ）
． - 试题分析:（Ⅰ）当时，
，对函数求导数，可知在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，则
；（Ⅱ）对函数求导数得，
，要分
、
和
三种情况讨论，易得当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，
，由题知
，化简得
，解得
．
试题解析：（Ⅰ）当时，，
∴
；
∵的定义域为，∴由
得
，由
得
．........2分
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴． .............4分
（Ⅱ）．
①当
，即时，
，∴在单调递减； 5分
②当时，
，在单调递增； 6分
③当时，由
得
，∴
或
（舍去）
∴在单调递增，在上单调递减； 8分
综上，当时，在单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
当时，在单调递减； 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，，
即原不等式等价于， 11分
即
，整理得
∴
13分
又∵，∴的取值范围为. 14分
考点：①利用导数求最值；②利用导数讨论函数的单调性；③利用导数求参数范围.