- 试题详情及答案解析
- （本小题12分）如图，在四棱锥
中，
底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
，
，
，
是
的中点
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．- 答案：（1）证明见解析；（2）
- 试题分析：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键；(2）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备；（3）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键．
试题解析：（1）证明：
平面ABCD，
平面ABCD，
，
，
，
，
又
，
平面，
∵平面EAC，
平面平面 6分
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则C（0，0，0），
（1，1，0），
（1，－1，0）
设
（0，0，
）（
），则（
，
，
），
，
，
，
取
=（1，－1，0） 8分
则
，
为面
的法向量
设
为面的法向量，则
，
即
，取
，
，
，
则
，
依题意，
，则
于是
设直线与平面所成角为
，则
，
即直线与平面所成角的正弦值为 12分
考点：1、平面与平面垂直的判定；2平面与平面所成角的正弦值．