- 试题详情及答案解析
- 已知△ABC,∠BAC=45°,以AB、AC为边在△ABC外作等腰△ABD和△ACE,AD=AB、AE=AC,且∠BAD=∠CAE,连CD、BE交于F,连AF。
(1)①如图1,若∠BAD=60°,则∠AFE= 度;
②如图2,若∠BAD=90°,则∠AFE= 度;
(2)如图3,若∠BAD=a°,猜想∠AFE的度数(用a表示),并予以证明。- 答案:(1)60,45.(2)∠AFE=90°-α°.
- 试题分析:过点A作AM⊥CD于M,作AN⊥BE于N,求出∠DAC=∠BAE,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等,根据全等三角形对应边上的高相等可得AM=AN,全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADC,再求出∠DAM=∠BAN,然后求出∠MAN=∠BAD,利用“HL”证明Rt△AMF和Rt△ANF全等,根据全等三角形对应角相等可得∠MAF=∠NAF,再根据直角三角形两锐角互余求出∠AFE,然后代入数据计算即可得解.
试题解析:如图,过点A作AM⊥CD于M,作AN⊥BE于N,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
在△ABE和△ADC中,
,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴AM=AN,∠ABE=∠ADC,
∴∠DAM=∠BAN,
∴∠MAN=∠BAE+∠BAD-∠DAM-∠EAN,
=∠BAE+∠BAD-∠BAN-∠EAN,
=∠BAE+∠BAD-∠BAE,
=∠BAD,
在Rt△AMF和Rt△ANF中,
,
∴Rt△AMF≌Rt△ANF(HL),
∴∠MAF=∠NAF=∠BAD,
在Rt△AEN中,∠AFE=90°-∠NAF=90°-∠BAD,
(1)①若∠BAD=60°,则∠AFE=90°-×60°=60°;
②若∠BAD=90°,则∠AFE=90°-×90°=45°;
(2)若∠BAD=a°,则∠AFE=90°-α°.
考点:1.全等三角形的判定与性质;2.等腰三角形的性质.