- 试题详情及答案解析
- （2010•顺义区一模）已知椭圆C：
，（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，
，离心率
．过直线l：
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y=r2”．由上述结论类比得到：“过椭圆（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（
）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．- 答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）
- 试题分析：（1）由过圆上一点的切线方程，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程．
（2）由（1）的结论，我们可以设出A，B两点的坐标，列出切线方程，又由M为直线l：上任意一点，故可知M为两条切线与l的公共交点，消参后即得答案．
（3）由（2）中结论，我们可得M点的坐标，根据l的方程我们可以计算出AB边上的高，再由弦长公式计算出AB的长度，代入三角形面积公式即可．
解：（1）类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：
过椭圆
（a＞b＞0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为
．
（2）由
，离心率
得
，a=3∴b=1
∴椭圆C的方程为：
l的方程为：
设A（x1，y1），B（x2，y2），M的纵坐标为t，即
，
由（1）的结论
∴MA的方程为
又其过
点，
∴
同理有
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在直线
上；
当
，y=0时，方程恒成立，
∴直线AB过定点
（3）t=1∴
消去y得
，
∴
，x1x2=0，
∴．
点评：本题综合的考查了椭圆与直线的相关知识点，本题的切入点是由类比思想探究出的过椭圆上一点的切线方程，运用设而不求的方法探究出切点A，B的坐标满足的共同性质，从而得到两切点确定的直线系的方程，并由直线系方程得到结论直线过定点；已知三角形一顶点坐标和对边所在的直线，我们可以代入点到直线距离公式求出该边上三角形的高，再由边长不难得到面积．