- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）已知直线
与椭圆
相交于
、
两点．
（1）若椭圆的离心率为
，焦距为
，求线段
的长；
（2）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．- 答案：（1）
；（2）
.- 试题分析：（1）设
，由题设
，2
=2及
求出
的值，确定椭圆的标准方程，然后由直线与椭圆方程联立方程组，消去后
，结合韦达定理与弦长公式
线段的长.
（2）设
，即
与第一问类似，结合韦达定理及点在直线上，将转化成关于的等式
，
最后结合
求出
的最值.
试题解析：（1）
，2=2，即∴
则
∴椭圆的方程为
， 2分
将
代入消去得：
设
∴
5分
（2）设，即
由
，消去得：
由
，整理得：
又
，
由，得：
，整理得： 9分
代入上式得：
，
，条件适合，
由此得：
，故长轴长的最大值为． 12分
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆位置关系综合问题.