- 试题详情及答案解析
- （2011•吉安二模）选做题：（从所给的A，B两题中任选一题作答，若做两题，则按第一题A给分，共5分）
A．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ≤2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点坐标为 ．
B．已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x2+y2+z2+3≥2（x+y+z）；
（2）
；
（3）|x+y|≤|x﹣2|+|y+2|；
（4）x2+y2+z2≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序号是 ．- 答案：
．（1）正确． - 试题分析：A 把极坐标方程化为直角坐标方程求出交点的坐标，再把交点的坐标化为极坐标．
B 利用作差法及绝对值不等式的性质判断两个式子的大小关系．
解：A 曲线ρ=2sinθ 即 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2+（y﹣1）2=1．
ρcosθ=﹣1即x=﹣1，把x=﹣1代入x2+（y﹣1）2=1可得交点坐标为（﹣1，1），
该点到原点的距离为
，该点在第二象限的平分线上，
故极角为
，故交点的极坐标为，
故答案为 ．
B∵x2+y2+z2+3﹣2（x+y+z）=（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2≥0，∴x2+y2+z2+3≥2（x+y+z）成立．
故（1）正确．
当 x和y 为负数时，（2）显然不成立．
∵|x+y|=|x﹣2+y+2|≤|x﹣2|+|y+2|，故（3）正确．
∵x2+y2+z2﹣（xy+yz+zx ）=
+
+
≥0，故（4）正确．
点评：本题考查极坐标与直角坐标的互化，绝对值不等式的性质，变形是解题的关键．