- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）设数列
满足
，
，
。
数列
满足
是非零整数，且对任意的正整数
和自然数
，都有
。
（1）求数列和的通项公式；
（2）记
，求数列
的前
项和
。- 答案：（1）an =
，
；
（2）
- 试题分析：（1）由递推公式构造等比数列可得
，再累加得an =；由题意对正整数和自然数赋值可得
∴b2=-1，同理得
∴b3=1，以此类推可得n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；∴.
（2）由（1）得
，故分n为奇数和n为偶数两种情况来求
，求解过程中注意错位相减法的应用.
试题解析：解：（1）由
得
(n≥3)
又a2-a1=1≠0，
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为
的等比数列，
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)
=
，
由当n为奇数时
当n为偶数时 得b2=-1，由 得b3=1，…同理可得当n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；
因此
（2）
Sn=c1+c2+c3+c4+…+cn
当n为奇数时，
=
当n为偶数时
=
令Tn=
……①
①×
得：Tn=
……②
①-②得：
Tn =
=
∴Tn =
∴
考点：数列求通项公式和数列求和的综合问题