- 试题详情及答案解析
- 若a1≤a2≤…≤an，而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn，证明：
≤（
）•（
）．当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时等号成立．- 答案：见解析
- 试题分析：利用排序原理，n个式子相加，可得得：n（a1b1+a2b2+…+anbn）≤（a1+a2+…+an）（b1+b2+…+bn），两边除以n2，即可得到结论．
证明 不妨设a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn．
则由排序原理得：
a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an﹣1b1+anb2
…
a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn﹣1．
将上述n个式子相加，得：n（a1b1+a2b2+…+anbn）
≤（a1+a2+…+an）（b1+b2+…+bn）
上式两边除以n2，得：
≤
等号当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时成立．
点评：本题考查排序原理，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．