- 试题详情及答案解析
- 已知实数x，y分别满足：（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，则x2+4y2+4x的最小值是（ ）
- 答案：C
- 试题分析：由于（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，两式相加再利用乘法公式可得：
（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2]+2014（x+2y﹣6）=0．由于
（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2≥0，可得x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出．
解：∵（x﹣3）3+2014（x﹣3）=1，（2y﹣3）3+2014（2y﹣3）=﹣1，
两式相加可得：（x﹣3）3+（2y﹣3）3+2014（x﹣3）+2014（2y﹣3）=0，
化为（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2]+2014（x+2y﹣6）=0，
∴（x+2y﹣6）[（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2+2014]=0，
∵（x﹣3）2﹣（x﹣3）（2y﹣3）+（2y﹣3）2≥0，
∴必有x+2y﹣6=0，把2y=6﹣x代入z=x2+4y2+4x得到
z=x2+（6﹣x）2+4x=2x2﹣8x+36=2（x﹣2）2+28≥28，
当且仅当x=2，y=2时取得最小值．
故选：C．
点评：本题考查了乘法公式和二次函数的单调性，属于中档题．