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试题详情及答案解析
(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作等边△OAB,C为x轴正半轴上的一个动点(OC>1),连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD,直线DA交y轴于E点.
(1)如图,当C点在x轴上运动时,设AC=x,请用x表示线段AD的长;

(2)随着C点的变化,直线AE的位置变化吗?若变化,请说明理由;若不变,请求出直线AE的解析式.
(3)以线段BC为直径作圆,圆心为点F,
①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO?此时⊙F和直线BO的位置关系如何?请说明理由.
②G为CD与⊙F的交点,H为直线DF上的一个动点,连结HG、HC,求HG+HC的最小值,并将此最小值用x表示.
答案:(1)AD=1+x;(2)不变,;(3)①相切,理由见试题解析;②BG=
试题分析:(1)由△OAB和△BCD都为等边三角形,等边三角形的边长相等,且每一个内角都为60°,得到∠OBA=∠DBC,等号两边都加上∠ABC,得到∠OBC=∠ABD,根据“SAS”得到△OBC≌△ABD,即可得到对应边AD与OC相等,由OC表示出AD即可;
(2)随着C点的变化,直线AE的位置不变.理由为:由(1)得到的两三角形全等,得到∠BAD=∠BOC=60°,又等边三角形BCD,得到∠BAO=60°,根据平角定义及对顶角相等得到∠OAE=60°,在直角三角形OAE中,由OA的长,根据tan60°的定义求出OE的长,确定出点E的坐标,设出直线AE的方程,把点A和E的坐标代入即可确定出解析式;
(3)由EA与OB平行,且EF也与OB平行,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条,得到EF与EA重合,所以F为BC与AE的交点,又F为BC的中点,得到A为OC中点,由A的坐标即可求出C的坐标;相切,理由是由F为等边三角形BC边的中点,根据“三线合一”得到DF与BC垂直,由EF与OB平行得到BF与OB垂直,得证;
(4)根据等边三角形的“三线合一”得到DF垂直平分BC,所以C与D关于DF对称,所以GB为HC+HG的最小值,GB的求法是:由B,C及G三点在圆F圆周上,得到FB,FC及FG相等,利用一边的中线等于这边的一半得到三角形BCG为直角三角形,根据“三线合一”得到∠CBG为30°,利用cos30°和BC的长即可求出BG,而BC的长需要过B作BM垂直于x轴,根据等边三角形的性质求出BM及AM,表示出CM,在直角三角形BMC中,根据勾股定理表示出BC的长即可.
试题解析:(1)∵△OAB和△BCD都为等边三角形,∴OB=AB,BC=BD,∠OBA=∠DBC=60°,即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC,∴∠OBC=∠ABD,∴△OBC≌△ABD,∴AD=OC=1+x;
(2)随着C点的变化,直线AE的位置不变.理由如下:
由△OBC≌△ABD,得到∠BAD=∠BOC=60°,又∵∠BAO=60°,∴∠DAC=60°,∴∠OAE=60°,又OA=1,在直角三角形AOE中,tan60°=,则OE=,点E坐标为(0,),A(1,0),
设直线AE解析式为,把E和A的坐标代入得:,解得:
所以直线AE的解析式为
(3)根据题意画出图形,如图所示:∵∠BOA=∠DAC=60°,EA∥OB,又EF∥OB,
则EF与EA所在的直线重合,∴点F为DE与BC的交点,
又F为BC中点,∴A为OC中点,又AO=1,则OC=2,∴当C的坐标为(2,0)时,EF∥OB;
这时直线BO与⊙F相切,理由如下:∵△BCD为等边三角形,F为BC中点,
∴DF⊥BC,又EF∥OB,∴FB⊥OB,即∠FBO=90°,故直线BO与⊙F相切;
(4)根据题意画出图形,如图所示:由点B,点C及点G在圆F的圆周上得:FB=FC=FG,即FG=BC,
∴△CBG为直角三角形,又△BCD为等边三角形,∴BG为∠CBD的平分线,即∠CBG=30°,
过点B作x轴的垂直,交x轴于点M,由△OAB为等边三角形,
∴M为OA中点,即MA=,BM=,MC=AC+AM=
在直角三角形BCM中,根据勾股定理得:BC=
∵DF垂直平分BC,∴B和C关于DF对称,∴HC=HB,则HC+HG=BG,此时BG最小,
在直角三角形BCG中,BG=BCcos30°=

考点:1.一次函数综合题;2.等边三角形的性质;3.直线与圆的位置关系;4.轴对称-最短路线问题.