- 试题详情及答案解析
- 如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形
，沿着较短的对角线
对折，使得
，
为的中点.若P为AC上的点，且满足
。
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求三棱锥
的体积；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值.- 答案：（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
. - 试题分析：（Ⅰ）根据题意
和
是等边三角形，且为
中点，所以
垂直,再利用长度，可知
满足勾股定理，所以垂直
，根据线面垂直的判定定理，结论得证；（Ⅱ）根据知点为
为靠近点
的三等分点，所以三棱锥的底面是边长为
的正三角形
，高由（1）知为
,所以三棱锥的体积为
；（Ⅲ）解法一：因为垂直平面，所以过作
的垂线，垂足为
，连接
,则角
为所求的二面角的平面角，在直角三角形中，
求得二面角的正切值，进而求得正弦；解法二：建立空间直角坐标系，找到平面
的法向量
和平面的法向量
，再利用二面角的余弦值
.
试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，
又边长为2，
由于，在
中，
，
（Ⅱ）
,
；
（Ⅲ）解法一：过
，连接AE，
，
即二面角的余弦值为
.
解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
显然，平面的法向量为
设：平面
的法向量
，
由
,
，
∴二面角的余弦值为.
考点：1.线面垂直的判定定理；2.三棱锥的体积；3.二面角.