- 试题详情及答案解析
- ．已知圆
：x2＋y2－2x－2y－2＝0.
（1）若直线
平分圆的周长，求原点O到直线
的距离的最大值；
（2）若圆
平分圆的周长，圆心在直线y＝2x上，求符合条件且半径最小的圆B的方程．- 答案：（1）
；（2）（x－
）2＋（y－
）2＝
- 试题分析：将圆的方程化为标准方程
，圆心为
，半径为
（1）直线平分圆的周长即圆的圆心在直线上，得到
之间的关系：
，同时利用点到直线的距离公式，得到原点到直线的距离
，根据二次函数的图像，解得当
时，
的最大值为；（2）圆平分圆的周长,则两圆的交点弦一定通过圆的圆心点，设
，由垂径定理并结合图形得到圆的半径
取得最小时
，
,进而得到半径最小时圆的方程.
试题解析：（1）圆的方程即，其圆心为，半径为.
由题意知直线经过圆心A（1,1），所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.
原点
到直线的距离d＝
.
因为a2＋b2＝a2＋（4－a）2＝2（a－2）2＋8，所以当a＝2时，a2＋b2取得最小值8.
故d的最大值为
＝.
（2）由题意知圆与圆A的相交弦为圆的一条直径，它经过圆心.
设圆的圆心为，半径为R.如图所示，在圆中，
由垂径定理并结合图形可得：R2＝22＋|AB|2＝4＋（a－1）2＋（2a－1）2＝5（a－）2＋.
所以当a＝时，R2取得最小值.
故符合条件且半径最小的圆的方程为（x－）2＋（y－）2＝.
考点：1.圆的标准方程；2.二次函数的最值；3.垂径定理.