- 试题详情及答案解析
- 以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设
为两个定点，
为非零常数，
，则动点
的轨迹为双曲线；
②过定圆
上一定点
作圆的动点弦
，
为坐标原点，若
则动点的轨迹为圆；
③
，则双曲线
与
的离心率相同；
④已知两定点
和一动点，若
，则点的轨迹关于原点对称.
其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.- 答案：②③④
- 试题分析：①错误.若动点
的轨迹为双曲线，则
要小于两个定点间的距离，当大于两个定点间的距离时动点的轨迹无图形，当等于两个定点间的距离时，动点的轨迹是两条射线；
②正确.根据平面向量加法的平行四边形法则，易知点是的中点.根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，在定圆上，有
,即
恒为直角.由于
是圆的半径，是一个定长，且
，所以点在以为直径的圆上运动，所以动点的轨迹是一个圆.
③正确.双曲线
的离心率，由：
且，解得
；
双曲线
的离心率，由
，又因为，所以
，综上，
所以两个双曲线的离心率相同，正确.
④正确.设
，所以即：
，设
为曲线
上任意一点，则点关于原点的对称点
，因为
，即点也在曲线上，所以命题正确.
综上正确命题的序号是②③④.
考点：1.双曲线的定义；2.动点的轨迹；3.双曲线的离心率.