- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知
，函数
，
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）求证：对于任意的
，都有
.- 答案：（Ⅰ）
的单调递增区间为
,单调递减区间为
,
；
（Ⅱ）略。- 试题分析：（Ⅰ）函数
的定义域为
,
，
因为
，所以，当
，或
时，
；
当
时，
．
所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,.
（Ⅱ）因为在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
，
，
所以，当
时，
．
由
，可得
．
所以当
时，函数
在区间
上是增函数，
所以，当时，
．
所以，当时，
对于任意的，都有
，
，所以
．
当
时，函数在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，
所以，当时，
．
所以，当时，
对于任意的，都有，，所以．
综上，对于任意的，都有．
考点：导数与函数、函数的单调性、极值、最值、等价转化。