- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则称x0是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线
是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．- 答案：（1）
；（2）
（3）
- 试题分析：（1）当
时，
，解
得，，所以函数的不动点为.
（2）因为对于任意实数
，函数
有两个不同的不动点，所以对于任意实数，方程
恒有两个不相等的实根，即方程
恒有两个不相等的实根，所以
，即对于任意实数，
，所以
，解得。
（3）设函数的两个不动点为
，则
，且是方程
的两个不等根，所以
，直线
的斜率为
，线段的中点坐标为
，因为直线是线段的垂直平分线，所以
，且在直线上，则
，
，所以
，当且仅当
时等号成立，又
，所以实数的取值范围是。
考点：新定义问题、函数与方程、直线方程、基本不等式。