- 试题详情及答案解析
- （本题满分14分）已知
（1）证明：
（2）若
在
恒成立，求
的最小值.
（3）证明：
图像恒在直线
的上方.- 答案：（1）详见解析；（2）
的最小值为
；（3）详见解析. - 试题分析：（1）考虑利用导数考查在
上的单调性，从而将问题转化为求的最小值：
， 即在上单调递增；当
时，
，即结论成立；（2）分析可知，问题等价于求函数
在
上的值域，通过求导考查单调性即可知，
，要使
成立，只需
在
恒成立，构造函数
，再次利用导数考查单调性即可知
，从而的最小值为
；（3）分析可知，问题等价于证明
在上恒成立，故考虑利用导数考查函数
在上的单调性，从而问题就等价转化为证明
.
试题解析：（1）∵
，∴， 即在上单调递增， 2分
∴当时，，即结论成立； 3分（2）令
，则
，
， 4分 ∴当时，
，
要使
，只需， 5分 要使成立，只需在恒成立， 6分
令，，则
，由
，
当时，
此时，有
成立，
∴满足条件，当
时，
，此时，有
，不符合题意，舍去，
当
时，令
，得
，可得当
时，，即时，，不符合题意舍去，综上，， 9分
又∵，∴的最小值为； 10分
（3）由题意只需证
，即证
在上恒成立，
令
，
， 11分
，即
在单调递增，
又∵
，∴在在唯一的解，记为
，
，
且
，即
， 12分
可得当
时，
，当
时，
，
∴只需最小值
， 13分
易得
，，∴
，∴结论得证. 14分
考点：利用导数考查函数的单调性.