- 试题详情及答案解析
- （本题满分12分）问题解决
（1）如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当
时，求
的值．
类比归纳
（2）在图（1）中，若
则的值等于 ；若
则的值等于 ；若
（
为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）
联系拓广
（3）如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设
（
），，则的值等于 ．
（用含
的式子表示）
- 答案：（1）
；（2）
，
，
；（3）
． - 试题分析：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．由轴对称的性质知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四边形ABCD是正方形，则有∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE2=CN2+CE2．即x2=（2﹣x）2+12可解得x的值，从而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，有AM2+AB2=DM2+DE2．
设AM=y，则DM=2﹣y，y2+22=（2﹣y）2+12可求得y的值，得到AM的值从而得到
；
（2）先算当（为整数）时，的值，然后代入即可得到n=3，n=4时，的值；
（3）先用含m，n代数式表示出AM，BN，然后求出的值即可．
试题解析：（1）如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．
∵，∴CE=DE=1．
设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，
．
∴
，解得
，即BN=
．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，
，
，
∴
．
设AM=y，则DM=2﹣y，
∴
，解得：
，即AM=
，∴．
（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，
不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，
，
，
；
作MH⊥BC于H，则MH=BC，
又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=
，则：
．
故当，则的值等于；若，则的值等于；
（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，，不妨令CD=n，则CE=1；
又
，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=
，
BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故
，
，
HN=
，故AM=BH=BN﹣HN=
，
故
．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．正方形的性质．