- 试题详情及答案解析
- （9分）已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．
（1）求证：AB=CD，
（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．- 答案：（1）证明见试题解析；（2）相等，理由见试题解析．
- 试题分析：（1）根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD，
（2）由AB=AC=CD推出∠CDA=∠CAD=∠CPM，求出∠MPF=∠CDM，∠PMF=∠BMA=∠CMD，在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．
试题解析：（1）∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，
∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，
在△ACE和△ABE中，∵∠AEC=∠AEB，AE=AE，∠CAE=∠BAE，
∴△ACE≌△ABE（ASA），∴AB=AC，
∵∠CAE=∠CDE，∴AM是BC的垂直平分线，∴CM=BM，CE=BE，∴∠CMA=∠BMA，
∵AE=ED，CE⊥AD，∴AC=CD，∴AB=CD；
（2）∠F=∠MCD，
理由是：∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD，∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质．