- 试题详情及答案解析
- （本小题满分12分）如图，椭圆
的焦点在
轴上，左右顶点分别为
，上顶点为
，抛物线
分别以
、为焦点，其顶点均为坐标原点
，
与
相交于直线
上一点
．
（1）求椭圆
及抛物线的方程；
（2）若动直线
与直线
垂直，且与椭圆交于不同的两点
，已知点
，求
的最小值．- 答案：（1）椭圆C:
，抛物线C1：
抛物线C2：
;（2）
- 试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出
的值；（2）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数
，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（3）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式
：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．
试题解析：（1）由题意可得A（a，0），B（0，
），
故抛物线C1的方程可设为
，C2的方程为
1分
由
得
3分
∴椭圆C:，抛物线C1：抛物线C2： 5分；
（2）由（1）知，直线OP的斜率为，所以直线的斜率为
，设直线方程为
由
，整理得
设M（
）、N（
），则
7分
因为动直线与椭圆C交于不同两点，所以
解得
8分
，
∵
，
∴
10分
∵，所以当
时，
取得最小值，
其最小值等于
12分
考点：椭圆、抛物线的定义及性质以及直线与椭圆的位置关系．