- 试题详情及答案解析
- （本小题满分13分）已知函数
（
为常数，
）
（1）若
是函数
的一个极值点，求的值；
（2）求证：当
时，在
上是增函数；
（3）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求正实数
的取值范围.- 答案：（1）2；（2）见解析；（3）
.- 试题分析：（1）利用函数在
处的导数为0即可求出的值；（2）利用函数的单调性与导数的关系跑到导函数在区间上恒大于0即可（3）若可导函数
在指定的区间
上单调递增（减），求参数问题，可转化为
恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.
试题解析：
1分
（1）由已知，得
且
，
2分
3分
（2）当时，
4分
当
时，
又
5分
故在上是增函数
（3）时，由（2）知，在
上的最大值为
于是问题等价于：对任意的，不等式
恒成立. 7分
记
则
. 8分
因为
9分
若
，可知
在区间
上递减，在此区间上，有
，与
恒成立相矛盾，故
，这时
， 12分在
上递增，恒有
，满足题设要求，
即
实数的取值范围为 14分
考点：函数的性质与导数的应用.