- 试题详情及答案解析
- （本小题满分14分）设函数
（e=2．718 28 是自然对数的底数）．
（1）当
时，求
在点
处的切线方程；
（2）判断的单调性；
（3）证明：当
（1，+∞）时，
．- 答案：（1）
； （2）的增区间为
，减区间为
；（3）见解析- 试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点
处的切线方程，注意这个点的切点是否在曲线上；（2）利用导数讨论函数在定义域内的单调性即可，其中需要注意参量
的取值范围；（3）对于较难分析或者是较为复杂的式子可以先用分析法分析一下，转化成较容易理解的式子如：就可转化为
这样就容易证明了．
试题解析：（1）当时，
，
，∴切点为
，
，
，切线方程为; 3分
（2）
， 4分
∵
∴当
时，
，∴的增区间为
，无减区间； 6分
当
时，
，
，
∴的增区间为，减区间为； 9分
（3）当（1，+∞）时，要证明： ．
即证
，即证
，即证
即证
，
∵
即证， 11分
令
∵
，
∴
在（1，+∞）上单调递减，
∴
，
即，
∴当（1，+∞）时，得证． 14分
考点：函数的性质及其综合应用．