- 试题详情及答案解析
- 已知的定义域是[0,4].
(1)若f(x)的极值点是x=3,求a的值;
(2)若f(x)是单峰函数,求a的取值范围.- 答案:(1)a=1或a=3.(2)[).
- 试题分析:(1)由,知f′(x)=x2﹣4ax+3a2,由f(x)的极值点是x=3,知f′(3)=9﹣12a+3a2=0,由此能求出a.
(2)f′(x)=x2﹣4ax+3a2=(x﹣a)(x﹣3a),结合f(x)是单峰函数,分类讨论,能够求出a的取值范围.
解:(1)∵,
∴f′(x)=x2﹣4ax+3a2,
∵f(x)的极值点是x=3,
∴f′(3)=9﹣12a+3a2=0,
解得a=1或a=3.
(2)∵f′(x)=x2﹣4ax+3a2=(x﹣a)(x﹣3a),
①当a=0时,f′(x)=x2≥0在[0,4]内恒成立,
故f(x)不是单峰函数,
故a=0不成立;
②当a<0时,由f′(x)>0,得f(x)的增区间为(﹣∞,3a),(a,+∞),
由f′(x)<0,得f(x)的减区间为(3a,a)
∵f(x)在[0,4]内是单峰函数,
∴,或,
无解.
③当a>0时,由f′(x)>0,得f(x)的增区间为(﹣∞,a),(3a,+∞),
由f′(x)<0,得f(x)的减区间为(a,3a),
∵f(x)在[0,4]内是单峰函数,
∴或,
解得.
综上所述,a的取值范围是[).
点评:本题考查利用导数求函数在某点取得极值的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想的灵活运用.